Matematika Informatika "Operasi Biner"

Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S * S ke S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, ×, *, · , Å , Ä , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya Ä pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.

Operasi biner pengaitan pasangan elemen (a,b) pada S yang memenuhi dua kondisi berikut :

1.      Setiap pasangan elemen (a,b) pada S dikaitkan dengan tepat satu elemen. Kondisi ini disebut dengan kondisi tertutup (closed).

2.      Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) pada S merupakan elemen di S. kondisi ini disebut dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well defined).

Sifat-sifat Operasi Biner

a.    Komutatif

Sifat komutatif dapat diartikan sebagai sifat pertukaran di dalam operasi hitung matematika. Bisa disimpulkan bahwa sifat komutatif harus memenuhi rumus :

a * b = b * a atau a ⊕ b = b ⊕ a

 

* dan ⊕ merupakan operasi biner

Soal:

1.      Diketahui :

Himpunan A merupakan bilangan asli. A = {1, 2, 3, 4, 5......} dan a * b = a + b + ab.                                

a * b = b * a  a + b + a.b = b + a + b.a 3 + 4 + 3.4 = 4 + 3 + 4.3    19 = 19 (Komutatif)

Misal, a = 3, b = 4

 

2.      Diketahui :

Himpunan A merupakan himpunan bilangan ganjil dan a * b = ab + a + b.

a * b = b * a  a.b + a + b = b.a + b + a  5.3 + 5 + 3 = 3.5 + 3 + 5     23 = 23 (Komutatif)

Misal, a = 5, b = 3

 

b.   Asosiatif

Operasi biner pada suatu himpunan, misal himpunan S. Dikatakan memiliki sifat asosiatif jika dan hanya jika, untuk setiap a,b,c ∈ S berlaku (a * b) * c = a * (b * c)

Contoh soal :

1.      Diketahui K adalah himpunan semua bilangan bulat dan a * b = a.b + 3. Apakah operasi binernya bersifat asosiatif?

Pembahasan :

Rumus dasar asosiatif : (a * b) * c = a * (b * c)

(ab + 3) * c = a * (bc + 3)

Misal : ab + 3 = r dan bc + 3 = s

r * c = a * s        → masukkan ke dalam rumus dasar

    r.c + 3 = a.s + 3 → ubah r dan s ke dalam bentuk awal

  (a.b + 3) c + 3 = a (bc + 3) + 3

   a.b.c + 3.c + 3 ≠ a.b.c + 3.a + 3

Jadi, operasi biner a * b = ab + 3 tidak bersifat asosiatif karena

(a * b) * c = a * (b * c) → a.b.c + 3.c + 3 ≠ a.b.c + 3.a + 3

2.      Apakah operasi biner a Å b = 3ab bersifat asosiatif?

Pembahasan :

Rumus dasar asosiatif : (a Å b) Å c = a Å (b Å c)

(3.a.b) Å c = a Å (3.b.c)

Misal : 3.a.b = p dan 3.b.c = q

p Å c = a Å q → masukkan ke dalam rumus dasar

 3.p.c = 3.a.q → ubah p dan q ke dalam bentuk awal

    3 (3.a.b) c = 3.a (3.b.c)

            9.a.b.c = 9.a.b.c

Jadi, operasi biner a Å b = 3ab bersifat asosiatif karena

 (a Å b) Å c = a Å (b Å c) → 9.a.b.c = 9.a.b.c

c.    Memiliki Identitas

α * ℮ = ℮ * α = α

Elemen identitas adalah elemen yang membuat operasi biner memetakan ke dirinya sendiri atau secara metematis ditulis : terdapat ℮ sedemikian, sehingga untuk setiap α elemen S berlaku :                                            

℮ adalah elemen identitas.

Contoh Soal :

1.      Diketahui : Himpunan A adalah himpunan bilangan asli. A = { 1, 2, 3, 4, 5, ....} dan a * b = a + b.

                   Ditanya : Apakah himpunan A memiliki identitas ?

                   Jawab :

Misal, a = 4

a * ℮   = a                                    ℮ * a = a

4 + ℮  = 4                       ℮ + 4 = 4

         ℮ = 0                             ℮ = 0

2.      Diketahui : Himpunan A adalah bilangan ganjil. A = { 1, 3, 5, 7, ....} dan a * b = a + b + 3.

                   Ditanya : Apakah himpunan A memiliki identitas ?

                   Jawab :

Misal, a = 7

         a * ℮ = a                         ℮ * a = a

a + ℮ + 3 = a                ℮  + a + 3 = 7

7 + ℮ + 3 = 7               ℮  + 7 + 3 = 7

                ℮ = -3                            ℮ = -3

d.   Memiliki Invers

Unsur invers adalah sebuah unsur bilangan jika dioperasikan dengan bilangan lain yang akan menghasilkan sebuah unsur identitas. Jika a adalah bilangan riil berlaku :

a + (-a) = (-a) + a = 0

Invers penjumlahan dari a adalah –a, invers perkalian dari a adalah
sifat-sifat operasi hitung sangat berguna untuk memahami dan melakukan operasi hitung pada bilangan bulat yang akan anda pelajari berikut ini.

·         Untuk setiap bilangan bulat r, ada bilangan bulat yang tunggal demikian, sehingga r + (-r) = (-r) + r = 0

·         Penjumlahan “lawan”, r + (-r) = 0

Misal, invers penjumlahan dari 4 = -4, karena 4 + (-4) = 0 (0 merupakan identitas penjumlahan)

·         Perkalian “kebalikan”

Invers perkalian dari 4 adalah   karena 4 x   = 1 (1 merupakan identitas perkalian)

·         Bilangan asli tidak memiliki memiliki elemen invers penjumlahan, misalnya untuk bilangan asli 2, invers penjumlahan dari 2 adalah -2 dan -2 tidak termasuk bilangan asli.

·         Bilangan rasional mempunyai elemen invers perkalian karena invers perkaliannya juga merupakan bilangan rasional.

Contoh soal :

1.      Diketahui C merupakan anggota himpunan bilangan bulat dan a * b = a + b + 1. Apakah C memiliki invers ?

a.          Mencari identitas terlebih dahulu

Jawab  :          

Misal, a = 2

  a * e = a                                        e * a = a

      a + e + 1 = a                               e + a + 1 = a

       2 + e + 1= 2                              e + 2 + 1 = 2

        e = 2-3                                         e = 2-3

        e = -1                                            e = -1

C memiliki identitas, yaitu e = -1. Karena  a * e = a sama dengan e * a = a dan termasuk ke dalam himpunan.

b.         Identitas yang didapat, lalu dimasukkan ke dalam persamaan invers.

        a * a^-1  = e                                           a^-1  * a = e        

a + a^-1 + 1 = e                                   a^-1  + a + 1 = e

 2 + a^-1 + 1= -1                                   a^-1  + 2 + 1 = -1

                a^-1 = -1-3                                            a^-1  = -1-3

               a^-1  = -4                                               a^-1  = -4

C memiliki invers karena a * a^-1  = e sama dengan a^-1  * a = e dan a^-1  = -4 termasuk dalam himpunan.

2.      Diketahui himpunan S merupakan anggota himpunan bilangan prima dan a * b = a.b + 3

Jawab :

Misal, a = 3

a.       Mencari identitas terlebih dahulu

     a * e = a                                 e * a = a               

                                    a.e + 3 = a                             e.a + 3 = a

3.e + 3 = 3                             e.3 + 3 = 3

         3e = 3-3                                             3e = 3-3

         3e = 0                                     3e = 0

           e = 0                                        e = 0  

Karena S tidak memiliki identitas, maka S tidak memiliki invers.

e.    Sifat Tertutup

Dalam penjumlahan sepasang bilangan asli A, hasil penjumlahan merupakan bilangan asli A. Himpunan A = {1,2,3,4,5,6.....,n}. Misal, 3 + 5 = 8, 8 merupakan anggota himpunan bilangan asli A.  Untuk operasi pengurangan dan pembagian tidak tertutup pada himpunan bilangan asli.

Contoh soal

1.      Operasi (x,0) untuk bilangan bulat x adalah a * b = a + a.b, buktikan jika bilangan tersebut memiliki sifat tertutup!

Misal, a = 3 dan b = 1     a * b            = a + a.b = 3 + 3.1 = 3 + 3 = 6

 

Operasi bersifat tertutup, karena hasil operasi tersebut masuk ke dalam himpunan bilangan bulat.

2.      Operasi (t,0) pada himpunan bilangan genap  adalah a * b = a + b, tentukan apakah bilangan tersebut termasuk dalam sifat tertutup?

Misal, a = 2 dan b = 6  a⊕b   = a + b             = 2 + 6             = 8

 

Operasi bersifat tertutup, karena hasil operasi tersebut masuk ke dalam himpunan bilangan genap.

download materi google drive